概率能告诉我们什么

一半的机会是什么意思

把一枚硬币抛起来，落下后可能正面朝上，也可能反面朝上。假设两面的机会相同，并且忽略硬币立在边缘等情况，我们就说：正面朝上的概率是二分之一。

“概率”表示一件事发生的机会有多大。它用 0 到 1 之间的数表示。二分之一可以写成 1/2、0.5，也可以写成 50%，意思相同。

在这个例子里，50% 没有告诉我们下一次会朝哪面。它也没有规定，抛两次就必须一次正面、一次反面。

先说清怎么算

我们把上面的假设合在一起，称为一个概率模型。模型说清楚两件事：哪些结果可能出现，每种结果有多大机会。

这枚硬币只有正、反两种结果，各占一半。换成一枚偏向某一面的硬币，两种结果还在，机会却不一定各占一半。不能因为它叫硬币，就认定正面的概率是 50%。

以后书中说“公平硬币”，就是指正、反两面的机会相同。说“公平骰子”，就是指六个点数出现的机会相同。

两个例子

公平硬币抛一次，正面的概率是 1/2。公平六面骰掷一次，出现 6 点的概率是 1/6。两个题目都先说明了各种结果的机会相同，所以可以用“符合要求的结果数”除以“全部结果数”。

再看另一种问题：公平硬币抛 10 次，能保证出现 5 次正面吗？不能。出现 3 次、5 次、7 次正面，都有可能。每次抛币有一半机会出正面，不等于每十次必须平分。

这也是读概率数字时要养成的习惯：先问这个数是怎样算来的，再问它能说明什么。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 公平六面骰掷一次，出现 6 点的概率是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   先数骰子一共有几个等可能的点数，再数其中几个符合“出现 6 点”。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   1/6。六种点数机会相同，其中一种是 6。

2. 一枚纪念币的两面都印着正面图案。忽略立在边缘的情况，它落下后出现正面图案的概率还是一半吗？
   提示

   第 2 题 · 提示

   分别想想：这一面朝上时看到什么，另一面朝上时又看到什么？不要直接照搬普通硬币的答案。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   不是一半，而是 1。按题目条件，落下后无论哪一面朝上，都是正面图案。

3. “明天这里下雨的概率是 40%。”这句话至少还需要说明哪些信息？
   提示

   第 3 题 · 提示

   “这里”是哪里，“明天”指哪段时间？多大的雨才算下雨？这个百分数又是谁估计的？

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   至少要说清地点、时段，以及“下雨”的判定标准。还应知道这个估计来自哪里，例如哪家气象机构的预报。

先把可能的结果列出来

六个点数，先数清楚

掷一次公平骰子，可能出现 1、2、3、4、5、6 点。六种结果机会相同。要算出现偶数的概率，就数一数：2、4、6，共三种。因此答案是 3/6 = 1/2。

把全部可能结果列在一起，数学上叫“样本空间”。从中挑出符合某个条件的结果，就得到一个“事件”。例如，“出现偶数”这个事件，包含 2、4、6 三种结果。

不用急着记术语。先会列结果，再会找出题目所问的那几种，事情就做了一大半。

什么情况下可以数个数

只有各种基本结果的机会相同，才能直接用个数相除：

概率 = 符合要求的结果数 ÷ 全部结果数

一袋里有三个红球、一个蓝球。若四个球被摸中的机会相同，摸到红球的概率就是四分之三。

不能因为球只有红、蓝两种颜色，就说两种颜色各有一半机会。等可能的是四个球，颜色相同的球却有三个。算概率前，要认准究竟在数什么。

抛两次硬币，有几种结果

假设硬币公平，两次抛掷彼此独立，也就是第一次的结果不改变第二次的机会。用前一个字记录第一次，后一个字记录第二次，就有四种等可能的结果：

“恰好一次正面”包括正反、反正，概率是 2/4 = 1/2。

“至少一次正面”还包括正正，概率是 3/4。“恰好一次”和“至少一次”只差两个字，数的却不是同一批结果。

另一个常见错误，是把“两次正面、一次正面、没有正面”当成三种等可能结果。这三类确实没有漏掉任何情况，但“一次正面”包含两种次序，机会比另外两类都大。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 公平骰子掷一次，点数小于 3 的概率是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   把小于 3 的点数逐个写出来，再与全部六种点数比较。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   小于 3 的结果是 1、2，概率为 2/6=1/3。

2. 独立抛两次公平硬币，至少出现一次反面的概率是多少？
   提示

   第 2 题 · 提示

   先算反面一次也没有的概率，再用 1 减去它。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   一次反面也没有，只能是“正正”，概率为 1/4。因此至少一次反面的概率为 1−1/4=3/4。

3. 一袋里有三个红球、一个蓝球，每个球被摸中的机会相同。摸到红球的概率是多少？为什么不能按两种颜色平均分？
   提示

   第 3 题 · 提示

   摸取时机会相同的是每个球。先数红球个数，再数球的总数。

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   3/4。等可能的是四个球，不是两种颜色。红色包括三个等可能结果，蓝色只包括一个。

十次抛币，为什么未必五正五反

概率与记录是两回事

公平硬币抛十次，出现了七次正面。这份记录里的正面比例是 70%，而我们假设的正面概率是 50%。两者不相等，并不矛盾。

50% 是模型给出的机会。70% 是这十次实际得到的比例，叫“相对频率”。计算相对频率，只需用出现次数除以总次数：

7 ÷ 10 = 70%

短短十次，比例上下浮动很常见。这份记录可以让你留意硬币是否公平，却不能单凭它就认定硬币一定有问题。

次数增加以后会怎样

若硬币一直公平，各次抛掷又彼此独立，抛得足够多时，正面所占的比例通常会接近一半。这个规律将在第十二章继续讲。

不过，趋近一半不是每增加一次就更接近一半，更不是要求后一段把前一段的差额补回来。先抛十次出现七次正面，接下来十次仍可能正面更多。

也别把“做得多”当成万能保证。若中途换了一枚硬币，或者只挑正面多的记录留下，最后算出的比例就回答不了原来的问题。

看比例，也要看总次数

甲店送了 2 单，迟到 1 单，迟到比例是 1/2 = 50%。乙店送了 100 单，迟到 1 单，迟到比例是 1/100 = 1%。同样迟到一次，总单数不同，意义差得很远。

再看两项调查：一项调查了 5 个人，其中 4 人赞成；另一项调查了 5,000 人，其中 4,000 人赞成。赞成比例都是 80%。前一项只要多一个人改口，比例就会明显改变。后一项受单个人影响较小，但仍要问：这些人是怎么选出来的，能代表谁？

一个比例至少要连着两个信息看：来自多少次观察，观察对象是怎样选的。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 20 次试验中，某结果出现 7 次，相对频率是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   相对频率用发生次数除以试验总次数。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   7/20=0.35，也就是 35%。

2. 公平硬币连续出现 4 次正面后，第 5 次出反面的概率是多少？假设每次独立。
   提示

   第 2 题 · 提示

   留意题目中的“公平”和“独立”：前面的结果会改变下一次的机会吗？

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   1/2。题目已经假设公平、独立，前四次不改变第五次的概率。

3. 两次调查的赞成比例都是 80%，分别调查了 5 人和 5,000 人。为什么不能认为这两个结果同样可靠？
   提示

   第 3 题 · 提示

   如果其中一个人改变回答，两项调查的比例各会变多少？再想想调查对象是怎样选出来的。

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   五人的调查里，一人改答就能改变 20 个百分点；五千人的调查通常不易受个别人影响。但样本大也不能弥补明显的抽样偏差，例如只询问本来就赞成的人。

什么时候加，什么时候乘

“或”要把结果合起来

掷一次公平骰子，出现 1 点或 2 点的概率是多少？两种结果都符合要求，合起来占六种结果中的两种，所以概率是 2/6 = 1/3。

也可以把两种机会相加：1/6 + 1/6 = 1/3。

但加法有个容易漏掉的地方。若问“出现偶数，或点数大于 3”，能把两个概率直接相加吗？先列出来：

• 偶数：2、4、6。
• 大于 3：4、5、6。

4 和 6 出现在两份名单里。直接相加会各算两遍，必须减掉重复的那一份：

3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3

最后留下 2、4、5、6 四种结果。这里的“或”表示至少满足一个条件，同时满足两个条件也算。

用字母记下来

我们常用 A、B 表示两个事件，用 P(A) 表示 A 发生的概率。刚才的算法可以写成：

P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)

“且”就是两个条件都满足。若 A、B 根本不能同时发生，例如一次掷骰既出 1 点又出 2 点，那么重叠部分没有结果，最后一项是 0，直接相加就行。这种关系叫“互斥”。

两件事都要发生，怎样算

独立掷两次公平骰子，要求第一次和第二次都出 6 点。

第一次出 6 点的概率是 1/6。无论第一次结果如何，第二次出 6 点的概率仍是 1/6。两次都出 6 点，就把两项相乘：

1/6 × 1/6 = 1/36

也可以列出全部 36 种等可能的点数组合，其中只有“6、6”符合要求。

这里能直接相乘，是因为两次掷骰独立。若前一个结果会改变后一个的机会，就不能照搬。例如从袋子里连续摸两个球，摸出的球不放回，第二次面对的袋子已经变了。那时要用第六章的条件概率。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 掷一次公平骰子，出现 1 点或 6 点的概率是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   一次掷骰能否同时出现 1 和 6？如果不能，这两种机会可以直接相加。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   1/6+1/6=1/3。出 1 和出 6 互斥。

2. 掷一次公平骰子，出现奇数或点数小于 4 的概率是多少？哪些结果被重复算了一次？
   提示

   第 2 题 · 提示

   分别列出奇数和小于 4 的点数。合并名单时，同一个点数只留一次。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   奇数是 1、3、5，小于 4 的数是 1、2、3。直接相加会把 1 和 3 重复算一次。符合“至少满足一个条件”的结果是 1、2、3、5，概率为 4/6=2/3。

3. 独立抛两次公平硬币，第一次正面、第二次反面的概率是多少？
   提示

   第 3 题 · 提示

   先写出两次各自的概率，再看“独立”允许你用哪一种运算。

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   两次独立，概率为 1/2×1/2=1/4。

至少发生一次，怎样算

先算一次也没有

独立抛三次公平硬币，至少出现一次正面的概率是多少？

“至少一次”包括一次、两次和三次。逐项列出也能算，但有个更省事的办法：先算一次正面也没有，也就是三次全是反面。

全反面的概率是 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8。其余情况都有正面，所以所求概率是：

1 - 1/8 = 7/8

若把“至少一次正面”记为 A，“一次正面也没有”就叫 A 的补集，写作 Aᶜ。这两个事件正好包含全部结果，又没有重叠，因此：

P(A) = 1 - P(Aᶜ)

从三次推到多次

同样的办法，独立抛四次公平硬币，至少一次正面的概率是 1 - (1/2)⁴ = 15/16。

式子里的上标 4，表示把 1/2 连乘四次。如果一次成功的概率是 p，那么失败的概率就是 1-p。独立试 n 次，且每次成功率相同，就有：

至少成功一次的概率 = 1 - (1-p)ⁿ

这条公式中的“独立”和“每次成功率相同”都不能省。一次失败若会影响下一次，或者每次难度不同，就得按实际条件重新算。

单次机会小，多次发生的机会未必小

假设一件事每次发生的概率只有 1%，每次彼此独立。重复 100 次，至少发生一次的概率是多少？

一次不发生的概率是 99%。100 次都不发生，就是 0.99¹⁰⁰，约为 36.6%。用 1 减去它，至少发生一次的概率约为 63.4%。

所以，单次只有 1%，并不代表试 100 次仍只有 1%。但也不能直接用 1% × 100 = 100%，说它必定发生；那样会把发生两次、三次等情况重复计算。

《夜鹭笔记》还记了一个相关结果：如果每次发生的概率是 1/n，独立试 n 次，当 n 越来越大时，至少发生一次的概率趋近 63.2%。公式是 1 - (1-1/n)ⁿ，极限写作 1-1/e，其中 e 约等于 2.718。暂时不懂极限也没关系，先看懂上面的 100 次就够了。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 独立掷两次公平骰子，至少出现一次 6 点的概率是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   先求一次不出 6 的概率，再算两次都不出 6。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   两次都不是 6 的概率为 (5/6)²。所以答案是 1−(5/6)²=11/36。

2. 每次成功率为 20%，独立试三次，至少成功一次的概率是多少？
   提示

   第 2 题 · 提示

   每次失败的概率是多少？三次全失败怎样计算？

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   三次都失败的概率为 0.8³=0.512。所以答案是 1−0.512=0.488，即 48.8%。

3. 每次发生的概率为 1/20，独立试 20 次，至少发生一次的概率怎样计算？保留三位小数。
   提示

   第 3 题 · 提示

   把 p=1/20、n=20 代入“至少一次”的公式，最后再把小数四舍五入。

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   1−(19/20)²⁰≈0.642，即约 64.2%。单次概率小，多次里至少发生一次的概率却可以大得多。

知道新条件，重新算概率

分母为什么变了

一副不带大小王的扑克牌有 52 张，红桃有 13 张。充分洗牌后抽一张，抽到红桃的概率是 13/52 = 1/4。

现在有人告诉你：“这张牌是红色的。”红桃的机会变了吗？

变了。黑色的 26 张牌已经排除，只剩红桃和方块共 26 张，其中红桃占 13 张。知道它是红牌以后，红桃的概率就是 13/26 = 1/2。

牌没有变，变的是我们掌握的信息。已知某个条件后重新计算的概率，叫“条件概率”。

公式怎样读

把“抽到红桃”记为 A，把“抽到红牌”记为 B。P(A|B) 读作“已知 B 发生，A 发生的概率”。竖线右边是已经知道的条件，左边是我们要问的事。

一般公式是：

P(A|B) = P(A且B) ÷ P(B)，其中 P(B) > 0。

这副牌里，红桃本来就是红牌，因此 P(A且B) = 13/52。再除以 P(B) = 26/52，仍得到 1/2。

初学时不必先背公式。先划掉不符合已知条件的结果，再在留下的结果中计算。

再看两个例子

掷一次公平骰子，已知点数大于 3，剩下 4、5、6。问出现偶数的概率，符合的是 4、6，所以为 2/3。

再看一个容易混淆的家庭题。假设每个孩子是男孩或女孩的机会各半，两名孩子的性别彼此独立。按“年长的在前，年幼的在后”排列，共有男男、男女、女男、女女四种等可能组合。

从这些家庭中随机选一个，并且只保留至少有一个男孩的情况，就可以排除女女。剩下三种，其中只有男男是两个男孩，概率为 1/3。

若得到的信息是“年长的是男孩”，则只剩男男和男女，两人都是男孩的概率为 1/2。

这道题特意采用了简化假设，也说明了信息怎样取得。现实里偶遇某个孩子，或者家长主动介绍某个孩子，可能采用了不同的选择方式，不能不加检查地套用同一个答案。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 从一副不带大小王的扑克牌中随机抽一张，已知是黑牌，抽到黑桃的概率是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   已知是黑牌，就把红牌排除。剩下的牌里，黑桃占多少？

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   黑牌共 26 张，其中黑桃 13 张，答案为 13/26=1/2。

2. 掷一次公平骰子，已知点数是奇数，点数大于 3 的概率是多少？
   提示

   第 2 题 · 提示

   只在 1、3、5 这三个奇数中找大于 3 的结果。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   奇数是 1、3、5，只有 5 大于 3，答案为 1/3。

3. 在本章的两孩家庭模型中，已知年幼的是女孩，两人都是女孩的概率是多少？
   提示

   第 3 题 · 提示

   按“年长、年幼”的顺序列组合，只保留第二个孩子是女孩的情况。

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   1/2。在本章的独立、男女机会相同的模型中，知道年幼者是女孩，不改变年长者是女孩的概率。

独立和互斥有什么不同

互斥：不能一起发生

掷一次骰子，不可能既出 1 点，又出 6 点。这两个事件不能同时发生，叫“互斥”。

换一个说法，它们没有共同的结果。若分别记为 A、B，就写成 A∩B = ∅。中间的符号表示交集，即两个事件共有的结果；右边的符号表示空集，即一个结果也没有。

互斥事件同时发生的概率当然为 0。不过，反过来不能在所有模型里成立：概率为 0 的事件，也可能包含结果。第十四章会解释这个区别。

独立：知道一个，不改变另一个的机会

独立抛两次公平硬币。知道第一次出了正面，第二次出正面的机会仍是一半。我们说“第一次正面”和“第二次正面”这两个事件独立。

它们可以同时发生：两次都是正面就行。因此，独立并不是不能同时发生。

数学上，独立满足：

P(A且B) = P(A) × P(B)

只要 B 的概率大于 0，也可以这样理解：知道 B 发生以后，A 的概率没有变化，即 P(A|B) = P(A)。

用同一颗骰子比较

掷一次公平骰子，“出 1 点”和“出 6 点”互斥。它们独立吗？不独立。原来出 6 点的机会是六分之一；知道已经出了 1 点后，出 6 点就不可能了，机会变成了 0。

再比较“出偶数”和“出 6 点”。两者不互斥，因为 6 同时符合两个条件。两者也不独立，因为知道点数是偶数后，只剩 2、4、6，出 6 的机会从六分之一变成了三分之一。

可见，两件事可以既不互斥，也不独立。这两个词回答的是不同问题。

判断时依次问：它们能否同时发生？知道其中一个发生后，另一个的机会会不会改变？这比只凭字面猜意思可靠。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 抛一次公平硬币，正面朝上与反面朝上这两个事件互斥吗？独立吗？
   提示

   第 1 题 · 提示

   分别问两件事：能否同时发生？知道正面朝上后，反面朝上的概率还与原来一样吗？

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   互斥，但不独立。一次抛掷不能同时正面和反面；知道正面朝上后，反面的概率从 1/2 变成 0。

2. 独立抛两次公平硬币，“第一次反面”与“第二次正面”互斥吗？独立吗？
   提示

   第 2 题 · 提示

   试着写出同时满足两个条件的序列，再判断第一次的结果是否改变第二次的机会。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   不互斥，但独立。“第一次反面、第二次正面”可以发生；第一次的结果不改变第二次的概率。

3. 掷一次公平骰子，“出偶数”与“点数大于 3”互斥吗？独立吗？列出共同结果后再算。
   提示

   第 3 题 · 提示

   列出两个事件共有的点数。共同发生的概率，是否等于两个概率相乘？

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   两个事件可以同时发生，共同结果是 4、6，因此不互斥。共同发生的概率为 1/3，而两者概率之积为 1/2×1/2=1/4，不相等，所以也不独立。

检测阳性，患病的机会有多大

“能检出”与“确实患病”是两回事

假设有一种检测：100 名患者来检查，平均能查出其中的 99 人。听起来很准。现在，你拿到了一张阳性报告，能否据此说自己有 99% 的机会患病？

不能。前一个数字说的是“已经患病的人，检测能不能查出来”；你想知道的却是“检测报了阳性的人，究竟有没有患病”。提问的方向变了，需要计算的人群也变了。

我们用一组假设的人数算一遍。这只是学习概率的例子，数字不代表任何真实疾病或检测。

先把一万人分成两组

假设某人群的患病率是 1%。一万人里，约有 100 人患病，9,900 人没有患病。

再假设这种检测能查出 99% 的患者，但也会把 5% 的健康人误报为阳性。那么，检测结果如下：

现在只看阳性报告：共 594 份，其中 99 份属于真正患病的人。所以，在这组假设下，检测阳性后患病的概率是：

99 ÷ 594 ≈ 16.7%

为什么不到两成？因为没有患病的人远比患者多。即使只有一小部分健康人被误报，人数也可能超过真正查出的患者。

这不是说检测没有用。检测前，随机选一个人的患病概率是 1%；得到阳性结果后，这个概率升到了约 16.7%。检测提供了新信息，只是没有把结论变成“肯定患病”。

换一个人群，再算一次

如果同一种检测用于患病率为 10% 的人群呢？

一万人里，约有 1,000 名患者，其中 990 人报阳性；9,000 名健康人里，约有 450 人被误报。阳性结果共 1,440 份，其中真正患病的比例是：

990 ÷ 1,440 ≈ 68.8%

检测的性能没变，阳性结果的含义却变了。原因是检测前的人群不同。这种原有的比例，常叫作“基础率”。

所以，只听见“这项检测很准”还不够。你至少要知道：用在哪类人群，能检出多少患者，又会误报多少健康人。

贝叶斯公式就在这张表里

根据新信息重新计算概率，叫作贝叶斯更新。在这个例子里，公式是：

P(患病｜阳性) = P(阳性｜患病) × P(患病) ÷ P(阳性)

竖线右边是已经知道的条件。分子算的是“患病并且阳性”的概率；分母算的是全部阳性的概率。两者相除，就得到阳性人群中患者所占的比例。

如果这行公式暂时不好记，先记住前面的表格：把真正查出的患者和被误报的健康人分开，最后只在阳性的人里面算比例。

现实中拿到检测报告，还需要医生结合症状、病史及检查条件解释。这里学到的是怎样分清两个概率，不能拿例题中的比例判断自己的病情。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 假设 1,000 人的患病率是 2%，检测能查出全部患者。预计有多少名患者报阳性？
   提示

   第 1 题 · 提示

   先用总人数乘以患病率。题目说全部患者都能被查出。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   1,000×2%=20 人。

2. 如果健康人被误报为阳性的概率是 10%，其余 980 名健康人中，预计有多少人被误报？
   提示

   第 2 题 · 提示

   假阳性率的计算范围是健康人，不是一千人的全体。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   980×10%=98 人。

3. 合并前两问，算出阳性人群中真正患病的比例。为什么能查出全部患者，仍不等于每份阳性报告都对应一名患者？
   提示

   第 3 题 · 提示

   阳性总人数包括真正患病的人，也包括被误报的人。用患者人数除以这个总人数。

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   阳性共约 118 人，患者约占 20/118≈16.9%。能检出全部患者，只说明没有漏掉患者；健康人仍可能被误报。

生日相同，为什么并不少见

题目问的是哪两个人

一个班有 23 人。假设大家的生日相互独立，且一年 365 天里的每一天都同样可能，班里至少有两个人生日相同的概率是多少？

答案略高于一半。

这个结果容易让人意外，是因为我们常把题目想成“有没有人和我同生日”。但这里问的是任意两个人：张三和李四相同也算，王五和赵六相同也算，不必有你参与。

23 人中，你只需与另外 22 人比较；而全班任意两个人都比较，共有 23 × 22 ÷ 2 = 253 对。能碰上的机会，比只围着一个人比较多得多。

不过，不能直接把每对生日相同的概率相加。几对相同可能同时出现，会重复计算。我们用第 5 章的方法，从反面入手。

先算所有人都不同

第一个人的生日可以是任何一天，没有限制。

第二个人要避开第一人的生日，365 天里剩下 364 天可选。

在前两人生日不同的条件下，第三个人要避开两天，剩下 363 天可选。

如此继续。到第 23 个人时，要避开前面 22 个不同的生日，剩下 343 天。因此，23 人生日全不相同的概率是：

365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 0.493

“至少有一对相同”和“全都不同”恰好包括所有情况。因此：

P(至少一对同生日) = 1 − P(全都不同) ≈ 0.507

也就是约 50.7%。

从三个人算起

如果长乘式看着费劲，先试三个人：

P(全都不同) = 365/365 × 364/365 × 363/365

再用 1 减去它，得到至少一对相同的概率约为 0.82%。人数少时，这个概率确实不大。随着人数增加，需要避开的生日越来越多，全部避开的机会就越来越小。

真实的生日并非完全均匀，还要考虑闰日等情况。这里暂时忽略这些差别，是为了把算法看清楚。50.7% 是这个简化模型的答案，不表示每个班都一定会有同生日的人。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 4 个人的生日全不相同，概率怎样写成乘积？请把四项都写出来。
   提示

   第 1 题 · 提示

   第一人任选一天；后面三人依次要避开几天？别漏掉第四个人。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   365/365×364/365×363/365×362/365。第四个人还要避开前面三个不同的生日。

2. 10 个人中至少一对同生日，怎样用“1 减去……”表示？不必手算小数。
   提示

   第 2 题 · 提示

   先写十个人生日全不相同的概率。最后一人要避开前面九个生日。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   1−(365/365×364/365×…×356/365)。括号内一共十项，表示十个人全都不同。

3. 一个班共 30 人，包括你。问“有没有人与我同生日”时，你要与多少人比较？它与“班里任意两人同生日”有什么不同？
   提示

   第 3 题 · 提示

   问“与我相同”时，不用把我与自己比较；问“任意两人”时，还包括哪些与我无关的配对？

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   你与另外 29 人比较，共 29 对；全班任意两人则有 30×29÷2=435 对。后一个问题包括许多与你无关的配对。

三扇门，换不换

先说清游戏规则

有三扇门。一扇后面是汽车，另外两扇后面是羊。汽车放在哪一扇门后，机会相同。你想赢得汽车，先选一扇门，但暂时不打开。

主持人知道汽车在哪里。他每次都会打开一扇你没选的羊门，然后让你决定：坚持原来的选择，还是换到另一扇没有打开的门。

如果两扇未选的门后都是羊，主持人可以任选一扇打开。下面计算“始终换门”的胜率，并不需要他在这两扇门之间平均选择；关键是他每次都开羊门，而且每次都给你换门的机会。

按这些规则，换门的胜率是 2/3，坚持原来的门则是 1/3。

换门什么时候赢

假设你先选 A 门。汽车的位置只有三种情况：

三种情况机会相同，换门能赢其中两种。

也可以这样想：你最初选对，换门就输；你最初选错，主持人会替你排除另一扇羊门，换门就赢。最初选错的概率是 2/3，所以换门赢的概率也是 2/3。

为什么不是各一半

打开一扇门后，虽然只剩两扇，但它们留下来的原因不同。

你的门是你起初挑的，主持人不会动它。另一扇门则经过主持人筛选：他知道答案，并且必须避开汽车。门的数量减少了，先前的选门过程却没有消失。

概率不能只看眼前还剩几个选项，还要看这些选项是怎样留下来的。

假设按同样规则玩 300 次。平均来看，约有 100 次你最初就选对，约有 200 次最初选错。如果每次都换门，赢的主要就是后面这 200 次。实际次数会有起伏，不必刚好是 200。

主持人换了做法，答案也要重算

如果主持人不知道汽车在哪里，只是随机打开一扇未选的门，他可能直接打开汽车门。即使这一次碰巧开出羊，也不是前面那个游戏了。

又如，主持人只在你最初选对时才邀请你换门。那么，只要他发出邀请，你就知道自己已经选对；这时换门反而必输。

同样是“打开一扇羊门”，背后的规则可以完全不同。算概率前，先把规则问清楚。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 标准规则下，最初选中汽车的概率是多少？为什么“换门赢”恰好对应“最初选错”？
   提示

   第 1 题 · 提示

   把初选分成“选对”和“选错”两种情况，分别看换门以后会怎样。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   初选中奖的概率是 1/3。最初选错时，主持人必须打开另一扇羊门，唯一剩下的未选门就是汽车门，换门便会赢。

2. 如果主持人随机打开任意一扇未选的门，还能直接套用换门胜率 2/3 吗？原来的哪项保证消失了？
   提示

   第 2 题 · 提示

   原来的主持人一定避开奖品。现在随机开门，有没有可能把奖品直接打开？

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   不能直接套用。随机开门不再保证避开汽车。若只讨论恰好开出羊的那些局，需要按这条新规则重新计算条件概率。

3. 设计一种主持人只在某些情况下开门并邀请换门的规则，使你一看到邀请，就知道最初选对还是选错。用一句话说清楚。
   提示

   第 3 题 · 提示

   想想能否规定：主持人只有在你初选对了，或只有在你初选错了的时候，才发出邀请。

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   例如：主持人只在你最初选中汽车时开一扇羊门并邀请换门。看到邀请，就知道自己最初选对了。

平均能赚多少，不等于这次能赚多少

先算一场小赌局

假设一个游戏有一半机会赢 10 元，一半机会输 10 元。把赢钱记为正数，输钱记为负数，平均收益就是：

1/2 × 10 + 1/2 × (−10) = 0 元

这叫“期望收益为零”。它不表示你这次一定不赚不赔。玩一次，你的结果是赢 10 元或输 10 元，根本没有零元这个选项。

“期望”在概率论里也不是愿望。它指的是：每种结果乘上对应的概率，再把它们相加。概率越大的结果，在这个平均数里占的分量越大。

骰子上没有 3.5 点

再看一个例子：掷一枚公平骰子，点数是多少，就得到多少元，不收费用。六种结果的概率都是 1/6，所以期望所得是：

1/6 × 1 + 1/6 × 2 + … + 1/6 × 6 = 3.5 元

你一次只能得到 1、2、3、4、5 或 6 元，得不到 3.5 元。3.5 元描述的是平均水平。若按相同规则独立玩很多次，每次所得的平均数会逐渐接近它。

如果玩一次要付 4 元，期望净收益就是 3.5 − 4 = −0.5 元。因此，算收益时别漏掉入场费、手续费等成本。

常赢，也可能总共亏钱

比较下面两个游戏，金额都已经扣除了参与成本：

游戏 B 赢的次数通常更多，但平均每次反而亏 0.51 元。一次大亏，可能抵消很多次小赢。

游戏 A 的期望为正，也不表示每个人都适合参加。如果你承受不起一次损失 10 元，平均收益为正并没有解决你的困难。

这正是本书借鉴塔勒布的一处思路：判断一项做法，既要看成功的机会，也要看成功能得到多少、失败会损失多少。他在 Edge 的文章 中讨论了这种区别。

一个平均数省略了什么

甲每次稳得 5 元。乙有一半机会得 100 元，另一半机会亏 90 元。两者的期望净收益都是 5 元，但承担的风险显然不同。

期望值把许多情况合成一个数，方便比较，也因此省掉了细节。要做决定，还得把结果表拿出来看：最差会怎样？这种损失能否承受？眼前这笔钱是否马上就要用？

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 一半机会赢 6 元，一半机会输 2 元，期望净收益是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   赢的钱记为正数，输的钱记为负数；各乘对应概率，再相加。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   0.5×6−0.5×2=2 元。

2. 90% 机会赢 2 元，10% 机会输 20 元，期望净收益是多少？
   提示

   第 2 题 · 提示

   别只看赢的机会有多大。把每次可能输掉的金额也乘上它的概率。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   0.9×2−0.1×20=−0.2 元，也就是平均每次亏 0.2 元。

3. 某项预测经常猜对方向，但一旦猜错就损失很大。为什么只看“猜对了多少次”，不能判断这项做法是否赚钱？
   提示

   第 3 题 · 提示

   比较多次小赚的总金额，和一次大亏的金额。谁更大？还漏了哪些成本？

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   猜对次数没有说明每次得失的金额。一次大亏可能抵消多次小赚，还可能有手续费等成本。

连出五次正面，下一次呢

不会因为前面多了，后面就少来一次

一枚公平硬币连续五次正面朝上。第六次是不是更容易出反面，好让正反面的次数接近一些？

如果每次抛掷相互独立，第六次仍然是一半正面、一半反面。前五次的结果不会改变这枚硬币，也不会改变下一次抛掷的方式。

觉得“前面出得太多，后面就该少出一点”，叫作赌徒谬误。它把长期的比例稳定，误解成了短期内必须补齐次数。

两个问题，不能混着算

在还没开始抛的时候，问“接下来五次全是正面的概率是多少”，答案是：

(1/2)⁵ = 1/32

等五次正面已经发生，再问“下一次还是正面的概率是多少”，答案是 1/2。

第一个问题要求五件事都发生，第二个问题只问尚未发生的一次。把已经发生的结果再算一遍，就换了题目。

长期接近一半，为什么不需要补偿

假设前十次恰好全是正面。此时正面比例是 100%，比一半高很多。

接下来的 1,000 次，假设恰好有 500 次正面、500 次反面。合起来是 510 次正面、500 次反面，正面比例约为 50.5%。

正面始终多了十次，并没有被反面“补回来”。但总次数变多了，这十次对比例的影响就小了。

大数定律说的是：在公平、独立、规则不变的抛币模型中，次数不断增加，正面所占的比例几乎必然趋近 1/2。它没有要求正反面的次数差归零，更没有要求下一次专门补偿前面的偏差。“几乎必然”这个词，我们到第 14 章再细讲。

现实里的过程，真的一直没变吗

硬币模型的条件很清楚。可一台机器用了十年，零件会磨损；工厂换了材料，故障原因也可能改变。把过去十年的故障比例直接用于改造后的设备，就需要另找依据。

塔勒布在《夜鹭笔记》保存的一则署名摘录中提醒：样本极大时，从过去经验作出的推断，容易让人感觉像严格证明。但“过去很多次如此”和“以后必定如此”仍有区别。

这不表示过去的数据没有用，而是说，使用数据时还得问：新旧情况是否相同？有没有漏掉重要情况？一万次没有遇见的事，是否只是还没遇见？

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 公平硬币独立抛了七次，都是正面。第八次反面的概率是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   独立抛掷会不会为了补齐正反面的次数，改变下一次的概率？

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   1/2。独立抛掷不会补偿前面的结果。

2. 每次独立试验的成功概率都是 1/4。做 40 次，成功次数的期望是多少？这能保证实际成功次数刚好等于期望吗？
   提示

   第 2 题 · 提示

   用试验次数乘以单次成功概率得到期望。再想想，期望是不是一项次数保证。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   40×1/4=10 次。这是期望，实际次数可以大于或小于 10。

3. 某工厂改用了新材料。能否把改造前十年的故障比例直接当作改造后的故障概率？说出一个需要检查的条件。
   提示

   第 3 题 · 提示

   过去的数据来自旧材料。换材料以后，故障的原因或发生机会会不会改变？

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   不能直接照用。至少要检查新材料是否改变了故障原因；使用环境、维护方式等也可能影响故障概率。

每局机会公平，为什么还会输光

这次把本金也算进去

你带着 10 枚筹码参加一个游戏。每局抛一次公平硬币：正面赢 1 枚，反面输 1 枚。各局相互独立，不收费用。

事先约定两条停止规则：输到 0 枚就退出；赢到 20 枚也退出。

你会先到哪一边？

起点 10 恰好在 0 和 20 的中间，每步向上、向下的机会相同。两边对称，所以先赢到 20 和先输到 0 的概率各为 1/2。

每局都公平，并不妨碍你有一半机会先输光。

用一条数轴看过程

在纸上写出 0 到 20，放一枚小物件在 10 上。每出一次正面，就向右移一格；每出一次反面，就向左移一格。

这样的过程叫作“随机游走”：每一步往哪边走，由随机结果决定。0 和 20 是停止的位置，也叫边界。

如果从 5 开始，你离输光只有五步，离目标却有十五步。每一步的机会依旧公平，最终先到两边的机会却不再相同。

在这个模型中，从 i 枚起步，目标是 N 枚，有：

P(先到 N 枚) = i/N

P(先输光) = 1 − i/N

因此，从 5 枚起步、目标 20 枚，先达标的概率是 1/4，先输光的概率是 3/4。从 15 枚起步则刚好反过来。

这个公式怎样来的

把“从 i 枚起步，先到 N 枚的概率”记为 q(i)。开始时，如果已经是 0 枚，就输了，所以 q(0)=0；如果已经有 N 枚，就达标了，所以 q(N)=1。

在中间任何一点，下一步一半机会变成 i+1，一半机会变成 i−1。因此：

q(i) = [q(i+1) + q(i−1)] ÷ 2

这句话的意思是：中间一点的成功概率，等于左右两点成功概率的平均数。于是，每向右走一格，成功概率增加的量都相同。

从 0 走到 N，一共 N 格，成功概率从 0 增加到 1，所以每格增加 1/N。走到 i，概率就是 i/N。

这里用到了一个事实：在这个有限、每步独立且公平的模型里，游戏会以概率 1 碰到某一边。它可以持续很久，却不会以正概率永远停留在中间。

现实里先问什么

这个例子说明，本金多少、何时停止，会影响最终结果。只盯着每局的胜率，会漏掉“输光以后不能继续”这个条件。

现实中的经营或投资通常更复杂：可能有费用，单次损失未必只有一格，胜率也未必已知。因此，不能直接拿 i/N 估算一家企业的生存概率。但可以沿着这个例子追问：钱少到什么程度就必须停？一次坏结果会不会直接用尽资金？

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 按本章规则，边界是 0 和 20，从 12 枚起步，先到 20 枚的概率是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   本章公式中，i 是起始筹码，N 是目标筹码。这里各是多少？

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   12/20=0.6，即 60%。

2. 边界相同，从 2 枚起步，先输光的概率是多少？
   提示

   第 2 题 · 提示

   先求达到目标的概率，再用 1 减去它。别把达标概率当成破产概率。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   先到 20 的概率是 2/20=0.1，所以先输光的概率是 1−0.1=0.9，即 90%。

3. 如果每局开始收手续费，或者赢的概率低于一半，还能直接使用本章的公式吗？哪项条件变了？
   提示

   第 3 题 · 提示

   检查原公式的条件：每步是否仍是等机会地增加或减少一枚筹码？

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   不能直接套用。手续费改变了每步的实际得失，胜率下降则破坏了上下各半的条件，需要重新计算。

概率为 1，为什么还允许例外

一个点有位置，却没有长度

想象从 0 到 1 之间均匀随机选一个实数。这里包括所有实数，不限制小数位数。

“均匀”表示：区间占多长，选进这个区间的概率就是多少。选进 0 到 0.5 的概率是 1/2；选进 0.49 到 0.51 的概率是 0.02。

那么，恰好选中事先指定的 0.5，概率是多少？

答案是 0。一个点没有长度。也可以把它包在越来越短的小区间里：选中这个点的概率，不可能大于选中包住它的区间的概率。区间可以任意缩短，因此这个点的概率只能是 0。

但 0.5 仍在可选的数里面，并没有被排除。

“没有选中 0.5”，概率就是 1

恰好选中 0.5 的概率为 0，那么没有选中它的概率就是：

1 − 0 = 1

可是，“没有选中 0.5”并没有包含全部可能结果，因为 0.5 这个例外还在。

这就是“几乎必然”：事件的概率等于 1，但可能漏掉一些总概率为 0 的结果。“必然”则要求没有任何例外，也就是事件包含整个样本空间。

概率在这里衡量的是集合有多大，不是单凭集合里有没有元素来判断。数学上，衡量这种大小的方法叫作“测度”。在这个均匀选数的例子里，可以先把测度理解成长度。

要特别分清：概率为 0 不是“非常小但仍大于零”。它就是零。一个概率为 0 的事件可以不是空集，表示模型中有这样的结果；这不保证你做若干次实验就能碰见它。

每个点都是零，整个区间为什么不是零

无论事先指定哪个数，选中它的概率都是 0。可无论选到什么，结果又一定是某个具体的数。这是否矛盾？

不矛盾。“选到某个数”包括全部结果；“选到事先指定的那个数”只包括一个结果。两个事件不同。

接下来容易冒出另一个问题：既然区间由一个个点组成，把这些零加起来，不还是零吗？

概率的加法规则允许我们把有限个、或能够依次排成一个序列的无穷多个互斥事件相加。后一种叫“可数无穷”，例如正整数 1、2、3……。但 0 到 1 之间的全部实数，无法按这种方式一一列完，叫“不可数无穷”。不能把适用于可数个事件的加法规则，直接套到所有实数点上。

初读时，先记住问题出在这一步：不是任何一种“无穷多个”，都能照着同一条加法规则处理。

再看三个例子

有理数与无理数

有理数是能够写成两个整数之比的数，例如 1/2、1/3、3/4。0 到 1 之间的有理数虽然无穷多，却可以依次列出：先按分母从小到大排列，同一分母下再排分子，遇到重复的数就跳过。

在均匀选实数的模型里，每个有理数的概率是 0；可数个这样的点合起来，概率仍是 0。因此，选到无理数的概率为 1。

有理数没有消失。再短的区间里，也能找到有理数。但“到处都有”和“占有正的总长度”不是同一回事。

两个随机数恰好相等

独立地从 0 到 1 均匀选 X 和 Y。把它们看成正方形中的坐标 (X,Y)，所有满足 X=Y 的点都在对角线上。

正方形有面积，对角线没有面积，所以两数恰好相等的概率是 0。但对角线并不是空的，像 (0.5,0.5) 就在上面。

注意，电脑显示的小数只有有限位。电脑上两个随机数相等的概率可以大于 0，不能把屏幕上的有限精度演示当成上述连续模型本身。

无穷次抛硬币

独立抛公平硬币，固定要求前 n 次全是反面，概率是 (1/2)ⁿ。n 越大，这个概率越接近 0。因此，永远都是反面的那一条无穷序列，概率为 0，但它仍是样本空间中的一条序列。

进一步说，从任何一次以后就全是反面，概率也为 0；所有可能的起点可以按 1、2、3……列出来，把这些情况合起来，概率仍为 0。

所以，“出现无穷多次正面”的概率是 1，但并不是每条序列都有无穷多次正面。这与第 12 章的大数定律一样，都需要保留“几乎必然”这个说法。

哪些情况下概率为 1 就是必然

掷普通公平骰子时，每个点数的概率都大于 0。如果一个事件漏掉任何一个点数，它的概率就不到 1。因此在这个模型中，概率为 1 的事件必须包含全部六个点数。

一般来说，在有限或可数的样本空间里，只要每个单独结果都有正概率，就不会出现“非空但概率为 0”的事件。

这里的条件是“每个结果都有正概率”，不只是“结果有限”。哪怕仅有两个结果，也可以在数学上给其中一个分配概率 0，给另一个分配概率 1。所以，不能单凭结果有几个，就断言零概率事件一定是空集。

延伸：这能解释加尔文主义中的拣选吗

有人由此问：一个被拣选的人，得救概率是否可以是 1，却仍然可能最终不得救？

不能用前面的数学结论直接推出这句话。概率为 1 的讨论，需要先有样本空间和概率分配；经典改革宗关于拣选与坚忍的教义，作出的是另一类主张。

《威斯敏斯德信条》第 17 章 说，真正蒙接纳、有效呼召并成圣的人不会完全且最终失去恩典，而会蒙保守到底。同章也承认真信徒可能暂时犯下严重的罪。《多特信经》第五项 同样区分人的软弱跌倒与上帝最终的保守。

因此，按这套教义的自身表述，“真蒙拣选却最终灭亡”并非一个保留下来的零概率例外。若把它加进去，就是改变了原来的教义。

还要区分两件事：一个人是否真蒙拣选，以及旁人是否能准确判断他。后者涉及我们知道多少，不能据此推出前者存在某种随机失败的机会。

数学能帮助我们分清这些句子，却不能靠一个相似的词，替神学决定结论。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 如果 P(A)=1，A 不发生的概率是多少？A 不发生的那些结果必须一个也没有吗？
   提示

   第 1 题 · 提示

   先用补集公式计算，再回想均匀选实数时，事先指定的单点是什么情况。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   A 不发生的概率为 0，但对应的结果不必一个也没有。均匀选数时，恰好选中 0.5 就是非空的零概率事件。

2. 连续均匀模型中，每个事先指定的数概率都为 0，是否表示最后选出的不是具体数字？请区分这里的两个事件。
   提示

   第 2 题 · 提示

   “选到某个数”和“选到事先指定的那个数”，包括的结果一样多吗？

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   不是。最后一定选出一个具体数字。“选出某个数”包含全部结果；“选出事先指定的那个数”只包含一个结果。

3. 为什么“概率为 1 可能允许例外”，不能直接证明“真选民也可能最终失落”？
   提示

   第 3 题 · 提示

   数学结论需要样本空间和概率分配。信条关于最终蒙保守的主张，是同一种概率描述吗？

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   前者是概率模型中关于集合大小的结论；经典改革宗对真选民最终蒙保守作出了不同性质的主张。没有先建立相应概率模型，不能直接移用数学结论；保留最终失落的例外也会改变原教义。

少见的大损失：认识肥尾

一次结果，能改变多少

假设你记录一项业务每天的净收益。前 99 天每天赚 1 元，第 100 天亏了 150 元。前 99 天看起来一直不错，但把第 100 天也算进去，累计就变成亏损 51 元。

这个简单例子说明：只报告赚钱的天数，会漏掉亏损的金额。它本身还不能证明这项业务有“肥尾”，但可以帮助我们理解，为什么要留意少见的大结果。

“尾”指哪一部分

把可能发生的损失从小到大排开，画一张分布图。越往右，损失越大。图中靠近很大损失的那一段，就叫尾部。

有些模型认为，损失一旦大到某个程度，再大十倍、百倍的机会会迅速变得极低。有些分布则下降得慢得多，大损失仍占有不可忽略的分量。后者常被称为“肥尾”分布。

“肥”说的是尾部的概率相对较多，不是说所有结果都很大，也不是说每一次观察都容易碰到灾难。严格讨论时，还要指明采用哪一种分布、与什么比较。本章先理解它对判断的影响。

塔勒布的 《肥尾的统计后果》 详细讨论了这类分布，以及为什么有限的数据可能低估极端结果的作用。

新来一个数，平均值就变了

假设某处十次维修，每次花费都是 100 元，平均费用自然是 100 元。第十一次遇到严重损坏，花了 10,000 元。把它加入记录后，平均费用变成：

(10 × 100 + 10,000) ÷ 11 = 1,000 元

只多记了一次，平均数就从 100 元变成了 1,000 元。

这仍只是一个演示，不足以凭十一次记录认定分布属于肥尾。它说明，若某些结果可以远大于平常结果，过去的平均数可能对少数大数十分敏感。

在一些肥尾模型里，均值虽然存在，却需要很大的样本才能估得稳定；还有些模型连有限的均值都不存在。因此，不能看到一张表算出了平均数，就认定背后有一个稳定、可靠的总体均值。

没见过，不等于不会超过

某个平台运行三年，没有遇到严重事故。你可以说“三年记录里没有严重事故”，却不能只凭这句话断言“大事故不可能发生”。

接下来要问的是：记录是否完整？有没有遇到过高负荷或异常环境？多个故障会不会同时发生？如果发生了，损失能到多大？

尤其要注意，过去见过的最大损失，不自动等于未来损失的上限。真正的上限需要来自合同、物理条件或其他可靠约束，而不是“以前最多只亏过这些”。

先分清两类问题

第一类是已知的简单游戏。比如只有两种结果：99% 机会损失 1 元，1% 机会损失 1,000 元。概率和金额都已给定，期望损失可以直接算。

第二类是现实里尚未摸清的风险。你既不确定大损失有多常见，也不确定它究竟能有多大。这时，一个写到小数点后好几位的估计，并不会自动消除不确定性。

前一类帮助我们练习计算，后一类要求我们检查依据。塔勒布提醒读者留意的，正包括这种差别。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 方案 A 有 10% 机会损失 100 元，其余时候不损失，期望损失是多少？
   提示

   第 1 题 · 提示

   把每种损失乘以相应概率。没有损失的情况，金额就是 0。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   0.1×100=10 元。

2. 方案 B 有 99% 机会损失 1 元，1% 机会损失 1,000 元，期望损失是多少？与 A 相比，哪一个平均损失更大，哪一个最大可能损失更大？仅凭这两个有限结果的例子，能否给分布下“肥尾”的结论？
   提示

   第 2 题 · 提示

   分别算平均损失、找最大可能损失。两个例子的损失是否都有固定上限？

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   B 的期望损失为 0.99×1+0.01×1,000=10.99 元，比 A 的 10 元大。B 的最大可能损失为 1,000 元，也比 A 的 100 元大。两个例子的损失都有固定上限，仅凭这种对比不能把 B 认定为数学意义上的肥尾分布。

3. 一项风险估计用了过去 20 年的数据，但未来损失可能超过历史最大值。写出两个你会追问的问题。
   提示

   第 3 题 · 提示

   过去是否遇到过足以引发大损失的环境？历史最大值与真正的损失上限，是一回事吗？

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   例如：这 20 年是否经历过可能引发大损失的环境？损失有没有可靠的上限？多个故障能否同时发生？

做决定前，先问输得起吗

80% 的成功率，还不够作决定

两个方案都说自己有 80% 的成功机会。甲如果失败，只浪费一天；乙如果失败，会使整个团队失去主要客户。

即使这两个概率完全准确，也不能据此说两个方案一样好。失败的机会相同，失败后的处境却差得很远。

概率提供了决定所需的一部分信息。收益多少、损失多少、什么时候发生、由谁承担，也必须一并考虑。

塔勒布在 Edge 的文章 及一篇关于 二元预测与实际收益的论文 中，讨论了预测事件是否发生与判断实际得失之间的区别。本章把这种思路整理成几个可以自己动手回答的问题。

先把事情写具体

假设你准备举办一场收费讲座。场地和准备工作需要先花 3,000 元，每张票扣除其他成本后能留下 100 元。

卖出 30 张票，刚好收回这笔投入；卖出 20 张，亏 1,000 元；卖出 50 张，赚 2,000 元。把这几个数列出来，比一句“我觉得大概能成功”有用。

但目前还不能计算期望收益，因为我们不知道每种售票结果有多大概率。不能为了凑出一个公式，随手编几个百分数填进去。

这时可以查以往相近活动的报名情况，也可以先开放预约。得到新信息后，再决定是否订场地、选多大的场地。

六个问题，逐个回答

1. 我要作的决定是什么？例如，现在是否支付不可退的场地费。
2. 有哪些结果，每种结果会带来多少收益或损失？别只写“成功”和“失败”。
3. 我估计概率的依据是什么？过去的活动与这次在人群、票价和时间上是否相近？
4. 最坏的损失能有多大，我能否承受？是否还有没有写进预算的责任？
5. 如果判断错了，谁承担后果？作决定的人与付出代价的人是否相同？
6. 出现什么新信息，我会改变决定？例如，截止日期前预约不足，就换小场地或取消。

这些问题不要求每次都有精确数字。知道哪一项还不知道，往往比给它填上一个看似精确的答案更有用。

可以改变方案，不必只在做与不做之间选

如果一次投入 3,000 元太冒险，能否先办一场规模更小的活动？能否争取可退订的场地？能否等预约人数足够后再付款？

这些办法未必提高了你猜对报名人数的能力，却可能减少猜错时的损失。作决定不仅是预测未来，也包括把事情安排成自己承受得起的样子。

回头看第 13 章，输光筹码的人不能继续参加。到了现实生活中，保留资金、时间和调整的余地，常常与眼前多赚一点同样重要。

学完以后，先做一件小事

找一个你最近要作的决定，写下可能结果、结果的代价，以及还缺哪些信息。如果愿意，再算一遍能算的概率和期望。

遇到算不出的地方，不必硬算。把假设写清楚，分清知道与不知道的部分，然后想想能否用较小的代价先试一次。

这本书从硬币和骰子起步，最后希望你养成的就是这个习惯：看见一个概率，既问它怎么算出来，也问它发生以后会怎样。

练一练

悬停或点按下方链接，查看提示与答案；再点一次可收起。

1. 选一件熟悉的小决定，写出至少两种可能结果及其后果。暂时不要填概率。
   提示

   第 1 题 · 提示

   可以从出行、办活动或购买日用品中选一件。分别写顺利和不顺利时，会花多少时间或钱。

   查看答案

   第 1 题 · 答案

   例如，是否骑车赴约：天气好，准时到达且没有车费；遇到大雨，可能迟到并需要另付交通费。也可以继续补充其他结果。

2. 如果有人说“风险只有 0.1%”，写出至少三个你需要问清楚的问题。
   提示

   第 2 题 · 提示

   先问这个风险对应一次、一天还是一年，再问估计的依据和失败的后果。

   查看答案

   第 2 题 · 答案

   例如：0.1% 是一次、一天还是一年内的风险？估计用了什么数据？失败会造成多大损失？新情况与原样本是否相似？

3. 为你选的决定写一条具体规则：出现什么情况，就暂停或重新评估？
   提示

   第 3 题 · 提示

   把规则写成“如果出现……，就……”；前半句要能观察，后半句要能实际执行。

   查看答案

   第 3 题 · 答案

   例如：活动开始前七天，付费报名不足 30 人，就暂停新增支出，重新决定是否改用小场地。规则应写明可观察的条件和随后要做的事。